Question

Вычислить сумму
$\sum^{r-1}_{i_1=0} \sum^{i_1}_{i_2=0} \sum^{i_2}_{i_3=0} \dots \sum^{i_{k-1}}_{i_k=0} r$

Answer 1

$S=\sum\limits^{r-1}_{i_1=0} \sum\limits^{i_1}_{i_2=0} \sum\limits^{i_2}_{i_3=0} \dots \sum\limits^{i_{k-1}}_{i_k=0} r=r\sum\limits^{r-1}_{i_1=0} \sum\limits^{i_1}_{i_2=0} \sum\limits^{i_2}_{i_3=0} \dots \sum\limits^{i_{k-2}}_{i_{k-1}=0} \binom{i_{k-1}+1}{1}=\\=r\sum\limits^{r-1}_{i_1=0} \sum\limits^{i_1}_{i_2=0} \sum\limits^{i_2}_{i_3=0} \dots \sum\limits^{i_{k-3}}_{i_{k-2}=0} \binom{i_{k-2}+2}{2}=r\sum\limits^{r-1}_{i_1=0} \binom{i_{1}+k-1}{k-1}=r\binom{r-1+k}{k}$