В прямоугольном треугольнике ABC : ∠C = 90∘ , CH − высота (BC >AC). Докажите, что если AB=4*CH, то ∠A = 75∘ .
Ответы
Ответ:
Для доказательства данного утверждения воспользуемся теоремой Пифагора и свойствами прямоугольного треугольника.
Из условия дано, что AB = 4 * CH. Предположим, что ∠A ≠ 75∘.
Из свойств прямоугольного треугольника следует, что в прямоугольном треугольнике ABC угол A является наибольшим углом.
Предположим, что ∠A > 75∘. Тогда, так как ∠A является наибольшим углом, угол C будет меньше 90∘.
Используя теорему Пифагора, получим:
AC^2 + CH^2 = AH^2
AC^2 + (AB - AC)^2 = AH^2
AC^2 + (4 * CH - AC)^2 = AH^2
Раскроем скобки и упростим:
AC^2 + 16 * CH^2 - 8 * AC * CH + AC^2 = AH^2
2 * AC^2 + 16 * CH^2 - 8 * AC * CH = AH^2
Так как CH > AC (BC > AC), то 16 * CH^2 > 8 * AC * CH.
Следовательно, 2 * AC^2 + 16 * CH^2 - 8 * AC * CH > AH^2.
Это противоречит теореме Пифагора, которая утверждает, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
Таким образом, предположение ∠A > 75∘ является неверным.
Аналогично можно доказать, что предположение ∠A < 75∘ также является неверным.
Следовательно, ∠A = 75∘.
Ответ:
....................................................
Объяснение:
