Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (предварительно сделав рисунок): y=4x-x^2, y=0, x=5

Срочно нужна помощь!!

Answer 1

Ответ:  

Парабола  y = 4x - x²  имеет вершину в точке  ( 2 ; 4 ) , ветви направлены вниз . Точки пересечения графика с осью ОХ ( у=0 ) имеют коoрдинаты  (0;0) и (4;0) .

Точкa пересечения графика параболы с прямой  х=5 :

y(5) = 4 · 5 - 5² = -5  ⇒   M ( 5 ; -5 )  

Область, площадь которой надо вычислить, заштрихована на рисунке .

Площадь вычисляем, применяя определённый интеграл . Причём перед интегралом надо поставить минус, так как область лежит ниже оси ОХ .

$\bf \displaystyle S=-\int\limits_4^5\, (4x-x^2)\, dx=-\Big(2x^2-\frac{x^3}{3}\Big)\Big|_4^5=-\Big(2\cdot 25-\frac{125}{3}-2\cdot 16+\frac{64}{3}\Big)=\\\\\\=-50+\frac{125}{3}+32-\frac{64}{3}=-18+\frac{61}{3}=\frac{7}{3}$