Question

найдите пересечение множеств A и B, если A = { x | x = 2m + 1], B = { x | x = 3n + 2 } m и n целые числа

Answer 1

$A = \{ x\ |\ x = 2m + 1,\ m\in\mathbb{Z}\}$

$B = \{ x\ |\ x = 3n + 2,\ n\in\mathbb{Z}\}$

Множество А представляет собой множество целых чисел, которые при делении на 2 дают в остатке 1, а множество В представляет собой множество целых чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 2.

Можно поступить следующим образом. Выпишем первые несколько положительных элементов каждого множества и найдем общие:

$A=\{\ldots;\ 1;\ 3;\ \boxed{5};\ 7;\ 9;\ \boxed{11};\ 13;\ 15;\ \boxed{17};\ 19;\ \ldots\}$

$B=\{\ldots;\ 2;\ \boxed{5};\ 8;\ \boxed{11};\ 14;\ \boxed{17};\ 20;\ \ldots\}$

Видно, что общие элементы этих множеств - это целые числа, дающие при делении на 6 в остатке 5. Таким образом:

$A\cap B= \{ x\ |\ x = 6k + 5,\ k\in\mathbb{Z}\}$

Рассуждать можно было по-другому. Заметим, что элементы множества А - все нечетные числа. Значит, пересечением множеств А и В будут все нечетные элементы множества В.

Пусть элемент множества В, равный 3n+2, - нечетное число. Тогда, число 3n - также нечетное, и число n - также нечетное. Обозначим n с помощью формулы нечетного числа:

$n=2k+1,\ k\in\mathbb{Z}$

Подставим в общую формулу элемента множества В:

$3n+2=3(2k+1)+2=6k+3+2=6k+5$

Таким образом, нечетные элементы множества В задаются формулой 6k+5, а значит этой же формулой задаются и элементы пересечения множеств:

$\boxed{A\cap B= \{ x\ |\ x = 6k + 5,\ k\in\mathbb{Z}\}}$