Question

решить задачу Коши
y''-4y=0 y(0)=1, y'(0)=2

Answer 1

Ответ:

$y=e^{2x}$

Пошаговое объяснение:

y''-4y=0 - Линейное однородное ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Характеристическое уравнение:

$k^2-4=0 \ \Rightarrow \ k^2=4 \ \Rightarrow \ k= \pm 2$

Общее решение:

$y=C_1e^{-2x}+C_2e^{2x}$

Задача Коши:

$y=C_1e^{-2x}+C_2e^{2x} \\ \\ y'=-2C_1e^{-2x}+2C_2e^{2x} \\ \\ \left\{\begin{matrix} y(0)=1 \\ y'(0)=2 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 1=C_1+C_2 \\ 2=-2C_1+2C_2 \ |:2 \end{matrix}\right. \Rightarrow \pm \left\{\begin{matrix} 1=C_1+C_2 \\ 1=-C_1+C_2 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2=2C_2 \\ 0=2C_1 \end{matrix}\right. \\ \\ \Rightarrow \left\{\begin{matrix} C_2=1 \\ C_1=0 \end{matrix}\right.$

$y=e^{2x}$