Question

Вычислите определённый интеграл

Answer 1

Вычислить определённый интеграл $\bf\int\limits^1_{-2} {(3x^2-9x+1)} \, dx$

Ответ:

$\sf \dfrac {51}{2}$

Объяснение:

Находим неопределённый интеграл:

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

$\int\limits {(3x^2-9x+1)} \, dx$

Используем свойство интегралов и вычисляем:

$\boxed {\int\limits {(f(x)\pm g(x))} \, dx = \int\limits {f(x)} \, dx \pm\int\limits {g(x)} \, dx }$

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

$\sf \int\limits {(3x^2-9x+1)} \, dx = \int\limits {3x^2} \, dx -\int\limits {9x} \, dx +\int\limits {1} \, dx = \bf x^3-\dfrac{9x^2}{2} +x + C$

Будем вычислять определённый интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

Функция y = f (x) ограничена на отрезке [a;b] и имеет на нём не более конечного числа разрывов. И функция F(x) - некоторая (произвольная) первообразная для функции f(x).

$\boxed{\int\limits^b_a {f(x)} \, dx = F(x)|^b_a = F(b)-F(a)}$

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

$\sf \int\limits^1_{-2} {(3x^2-9x+1)} \, dx = (x^3-\dfrac{9x^2}{2} +x)|^1_{-2} = F(1) - F(-2)$

$\sf F(1)=1^3-\dfrac{9*1^2}{2}+1 = 2 - \dfrac{9}{2} = \bf{-\dfrac{5}{2}} \\\\\sf F(-2) = -2^3-\dfrac{9*(-2)^2}{2}+(-2) = -8 - 18 - 2 =\bf -28$

Находим определённый интеграл:

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

$\sf \int\limits^1_{-2} ({3x^2-9x+1)} \, dx = \sf-\dfrac{5}{2} - (-28) = -\dfrac{5}{2} + 28 = \bf \dfrac{51}{2}$

___________________________________________________________

ᚨᚾᛏᛁᛋᛈᛁᚱᚨᛚᛋ

Answer 2

Ответ:

25,5

Объяснение:

$\int\limits^1_{-2} {3x^2-9x+1} \, dx=(\frac{3x^3}{3}-\frac{9x^2}{2}+x)$

В проинтегрированное подставляем верхнее и нижнее значение интеграла:

$(1-4,5+1)-(-8-18-2)=-2,5-(-28)=-2,5+28=25,5$