Question

Докажите что 1. |-а| = |а|
2. -|а| <= а <= |а|

Answer 1

1. $|-a| = |a|$

а) Рассмотрим случай, когда $a\geqslant 0$. Тогда, $-a\leqslant 0$.

Раскроем модуль в соотношении:

$|-a| = |a|$

В левой части подмодульное выражение неположительно, а в правой части - неотрицательно. Значит, в левой части модуль раскрывается со сменой знака, а в правой - без смены знака:

$-(-a) = a$

Полученное соотношение верно всегда: противоположное число к противоположному есть само число.

б) Рассмотрим случай, когда $a < 0$. Тогда, $-a > 0$.

Раскроем модуль в соотношении:

$|-a| = |a|$

Теперь в левой части подмодульное выражение положительно, а в правой части - отрицательно. Значит, в левой части модуль раскрывается без смены знака, а в правой - со сменой знака:

$-a = -a$

Получено верное соотношение.

Таким образом, равенство $|-a| = |a|$ выполняется при любых значениях $a$. Доказано.

2. $-|a| \leqslant a \leqslant |a|$

а) Аналогично, сначала рассмотрим случай, когда $a\geqslant 0$. Подмодульное выражение неотрицательно, значит модуль раскрывается без смены знака:

$-a \leqslant a \leqslant a$

В виде системы это запишется как:

$\begin{cases} -a \leqslant a \\ a \leqslant a \end{cases}$

Второе неравенство выполняется всегда. Первое неравенство для рассматриваемого случая с неотрицательными числами также справедливо: противоположное число к неотрицательному числу не больше самого этого числа.

б) Рассмотрим случай, когда $a < 0$. Подмодульное выражение отрицательно, значит модуль раскрывается со сменой знака:

$-(-a) \leqslant a \leqslant -a$

$a \leqslant a \leqslant -a$

Вновь перепишем в виде системы:

$\begin{cases} a \leqslant a \\ a \leqslant -a \end{cases}$

Первое неравенство, очевидно, выполняется всегда. Второе неравенство для отрицательного числа $a$ также выполняется: противоположное число к отрицательному числу больше этого отрицательного числа.

Таким образом, неравенство $-|a| \leqslant a \leqslant |a|$ полностью доказано.