Question

Вычислите sin(а-П/3), если cos a=-4/5, и П/2<а<П

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{3+4\sqrt{3} }{10}$

Пошаговое объяснение:

Вычислить sin ( α - π/3), если    cos α= - 4/5 и  π/2 < α <π

Воспользуемся формулой

sin(α - β) = sinα ·cosβ - cosα · sinβ.

Тогда получим

$sin \left(\alpha -\dfrac{\pi }{3} \right)=sin\alpha \cdot cos\dfrac{\pi }{3} -cos\alpha \cdot sin\dfrac{\pi }{3} =sin\alpha \cdot \dfrac{1}{2} -cos\alpha \cdot \dfrac{\sqrt{3} }{2}=\\\\=\dfrac{1}{2}sin\alpha -\dfrac{\sqrt{3} }{2}cos\alpha$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и найдем sinα

$sin^{2} \alpha +cos^{2} \alpha =1;\\sin^{2} \alpha =1-cos^{2} \alpha ;\\sin\alpha =\pm\sqrt{1- cos^{2} \alpha }$

Так как  π/2 < α <π, то α - угол второй четверти, а синус во второй четверти положительный, то

$sin\alpha = \sqrt{1- cos^{2} \alpha } ;\\\\sin\alpha = \sqrt{1-\left(-\dfrac{4}{5}\right)^{2} } =\sqrt{1-\dfrac{16}{25} } =\sqrt{\dfrac{25}{25}-\dfrac{16}{25}} =\sqrt{\dfrac{9}{25}} =\dfrac{3}{5} .$

Тогда получим

$sin \left(\alpha -\dfrac{\pi }{3} \right)=\dfrac{1}{2}sin\alpha -\dfrac{\sqrt{3} }{2}cos\alpha=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{3}{5}-\dfrac{\sqrt{3} }{2}\cdot \left(-\dfrac{4}{5}\right) =\dfrac{3}{10} +\dfrac{4\sqrt{3} }{10} =\\\\=\dfrac{3+4\sqrt{3} }{10}$