Question

вычислить пределы последовательности
нужно расписать решение

Answer 1

Ответ:

0,5

Пошаговое объяснение:

Вычислить предел последовательности

$\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n^{2} } \cdot (1+2+3+...+n)$

Рассмотрим выражение в скобках 1+2+3+ ... +n

Это сумма арифметической прогрессии, первый член которой равен 1 и разность тоже равна 1. Найдем сумму n- первых членов арифметической прогрессии, воспользовавшись формулой суммы n- первых членов.

$S{_n}= \dfrac{(a{_1} +a{_n})\cdot n }{2} ;\\\\S{_n}= \dfrac{(1 +n)\cdot n }{2}$

Тогда предел рассмотрим в виде и воспользуемся   тем, что   $\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} =0$

$\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n^{2} } \cdot \dfrac{(1+n)\cdot n}{2} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{(1+n)\cdot n}{2n^{2} } = \lim_{n \to \infty} \dfrac{1+n}{2n } =\\\\ = \lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{1}{n} +\dfrac{n}{n} }{\dfrac{2n}{n} } = = \lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{1}{n} +1}{2} =\dfrac{0+1}{2} =\dfrac{1}{2} =0,5$

#SPJ1