В каком отнощении делит объем пирамиды плос-кость, параллельная основанию, если она делит высоту в отношении 2:3?
Ответы
Відповідь:
Плоскость, параллельная основанию делит объем пирамиды отнощении 2:29,25 или 8:117.
Пояснення:
Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту:
V = ⅓ × S × H
где S – площадь основания,
H – высота пирамиды.
У нас есть две пирамиды:
1) верхняя пирамида ( над секущей плоскостью, параллельной основанию ), с высотой пропорциональной двум единицам, Н1 = 2;
2) нижняя, усеченная пирамида ( под секущей плоскостью, параллельной основанию ), с высотой пропорциональной 2 + 3 = 5 единицам, Н2 = 5.
Найдем объемы большой пирамиды и верхней ( малой ) пирамиды. Объем усеченной пирамиды найдем как разницу объемов этих двух пирамид.
Основанием пирамид являются подобные многоугольники ( поскольку основание верхней пирамиды параллельно основанию большой пирамиды.
Площади подобных многоугольников относятся как квадраты сходственных сторон ( или квадраты коэффициента подобия ).
S1/S2 = (A1/A2)²
где S1 – площадь основания, а A1 одна из сторон верхней ( малой ) пирамиды;
S2 – площадь основания, а A2 сходственная сторона большой пирамиды.
Отношение A1/A2 - это и есть коэффициент подобия многоугольников.
Примем А2 = 5 каким то единицам, тогда А1 = 2 таким же единицам ( так, как высоты пирамид относятся как 2:5 ).
S1/S2 = (A1/A2)² = (2/5)²
S2 = S1 × (5/2)² = S1 × 2,5² = 6,25 × S1
Объем верхней ( малой ) пирамиды:
V1 = ⅓ × S1 × H1 = ⅓ × S1 × 2
Объем большой пирамиды:
V2 = ⅓ × S2 × H2 = ⅓ × 6,25 × S1 × H2 = ⅓ × 6,25 × S1 × 5 = ⅓ × S1 × 31,25
Объем усеченной пирамиды:
Vу = V2 - V1 = ⅓ × S1 × ( 31,25 - 2 ) = ⅓ × S1 × 29,25
Найдем отнощение в котором делит объем пирамиды плоскость, параллельная основанию:
V1/Vу = ⅓ × S1 × 2 / ( ⅓ × S1 × 29,25 ) = 2 / 29,25 = 8 / 117