Используя свойства операций над множествами проверить истинность соотношений для любых множеств A,B,C. Если соотношение неверное, составить контрпример.
(A⊕B)\(B∩C) = A⊕(B\C)
Ответы
Для доведення или опровержения данного соотношения, воспользуемся свойствами операций над множествами.
(A⊕B)(B∩C) = A⊕(B\C)
Раскроем операцию симметрической разности ⊕:
(A∪B)∩(A∩B)'∩(B∩C)' = A∪(B\C)
Теперь рассмотрим две возможные ситуации:
Пусть A∩B = ∅ (пустое множество)
Тогда (A∩B)' = U (универсальное множество)
Таким образом, левая часть выражения будет равна (A∪B)∩U∩(B∩C)' = A∪(B\C), что соответствует правой части.
Пусть A∩B ≠ ∅ (непустое множество)
В этом случае рассмотрим пример для опровержения соотношения:
Пусть A = {1}, B = {1, 2}, C = {2}
Тогда левая часть выражения будет:
(A⊕B)(B∩C) = ({1}⊕{1, 2})({1, 2}∩{2}) = {2}{2} = ∅
А правая часть выражения будет:
A⊕(B\C) = {1}⊕{1} = ∅
Таким образом, левая часть не равна правой части для данного контрпримера.
Вывод: Исходное соотношение (A⊕B)(B∩C) = A⊕(B\C) не всегда истинно.
Для начала разберемся со значением каждого символа операций:
⊕ - операция симметрической разности (обозначает элементы, принадлежащие либо множеству A, либо множеству B, но не одновременно обоим множествам)
\ - операция разности множеств (обозначает элементы, принадлежащие множеству A, но не принадлежащие множеству B)
∩ - операция пересечения множеств (обозначает элементы, принадлежащие как множеству B, так и множеству C)
Теперь применим эти операции в соответствии с заданной формулой:
(A⊕B)\(B∩C) = (A\B)⊕(B\C)
Разберемся пошагово:
1. Сначала нужно вычислить B∩C - пересечение множеств B и C. Это будет множество из тех элементов, которые одновременно принадлежат и B, и C.
2. Затем нужно вычислить A⊕B - симметрическую разность множеств A и B. Это будет множество из тех элементов, которые либо принадлежат только A, либо только B, но не одновременно обоим множествам.
3. Далее нужно вычесть из множества A⊕B все элементы, которые принадлежат множеству B∩C. То есть оставить только те элементы, которые либо принадлежат только A, либо только B\C.
4. С другой стороны формулы по аналогии вычисляем B\C - разность множеств B и C, затем A\B - разность множеств A и B, а затем объединяем эти множества при помощи операции симметрической разности ⊕.
Теперь проверим, действительно ли A⊕B\B∩C = A\B ⊕ B\C. Для проверки возьмем произвольные множества:
A = {1,2,3}, B = {2,3,4}, C = {3,4,5}
1. B∩C = {3,4}
2. A⊕B = {1,4}
3. (A⊕B)\(B∩C) = {1} (так как оставляем только те элементы, которые принадлежат только A)
4. A\B = {1}, B\C = {2}, (A\B)⊕(B\C) = {1,2} (так как объединяем только те элементы, которые либо принадлежат только A, либо только B\C).
Таким образом, получается, что (A⊕B)\(B∩C) ≠ (A\B)⊕(B\C), иначе говоря, исходное соотношение неверно.
Контрпример, подтверждающий неверность соотношения:
A = {1,2}, B = {2,3}, C = {2}
Тогда
B∩C = {2}
A⊕B = {1,3}
(A⊕B)\(B∩C) = {1,3}
A\B = {1},
B\C = {3}
(A\B)⊕(B\C) = {1,3}
Таким образом, мы получили A⊕B\B∩C = {1,3}, но A\B ⊕ B\C = {1,3}.