Question

Знайти суму точок екстремумів функції f(x)=(x-1)^2*(x+2)

Answer 1

Ответ:

Сумма точек экстремумов функции f(x)=(x–1)²·(x+2) равна 0

Пошаговое объяснение:

Перевод: Найти сумму точек экстремумов функции f(x)=(x–1)²·(x+2).

Информация: 1) Минимумом называют точку x₀, в которой значение функции меньше, чем в некоторой окрестности точки x₀. Максимумом называют точку x₀, в которой значение функции больше, чем в некоторой окрестности точки x₀.

2) Точки минимума и максимума функции называются её точками экстремума.

3) В точках экстремумов производная равна нулю. При этом, если производная изменит знак с "+" на "–" в точке, то эта точка максимума, если производная изменит знак с "–" на "+" в точке, то эта точка минимума.

Решение. 1) Вычислим производную от функции

f'(x) = ((x–1)²·(x+2))' = ((x–1)²)'·(x+2)+(x–1)²·(x+2)' = 2·(x–1)·(x+2)+(x–1)²·1 =

= (x–1)·(2·x+4+x–1) = (x–1)·(3·x+3) = 3·(x–1)·(x+1).

2) Найдём корни уравнения f'(x) = 0:

3·(x–1)·(x+1) = 0 ⇒ x₁ = –1, x₂ = 1.

3) Определим знак производной в каждом промежутке (методом интервалов): (–∞; –1), (–1; 1), (1; +∞).

а) пусть x = -2 ∈ (–∞; –1), то f'(–2) = 3·(–2–1)·(–2+1) = 9 > 0;

б) пусть x = 0 ∈ (–1; 1), то f'(0) = 3·(0–1)·(0+1) = –3 < 0;

в) пусть x = 2 ∈ (1; +∞), то f'(2) = 3·(2–1)·(2+1) = 9 > 0.

Производная

• изменила знак с "+" на "–" в точке x₁ = –1, то x₁ = –1 - точка максимума;
• изменила знак с "–" на "+" в точке x₂ = 1, то x₂ = 1 - точка минимума.

Сумма точек экстремумов функции f(x)=(x–1)²·(x+2) равна

x₁ + x₂ = –1+1 = 0.

#SPJ1