Question

Допоможіть будь ласка!!!

Answer 1

Ответ:

Система дифференциальных уравнений .

$\left\{\begin{array}{l}\bf x'=-5x+2y\\\bf y'=x-6y\end{array}\right$  

Выразим из 2 уравнения  х  и подставим в 1 уравнение .

$\left\{\begin{array}{l}\bf x'=-5x+2y\\\bf x=y'+6y\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf (y'+6y)'=-5(y'+6y)+2y\\\bf x=y'+6y\end{array}\right\\\\\\\left\{\begin{array}{l}\bf y''+6y'=-5y'-28y\\\bf x=y'+6y\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf y''+11y'+28y=0\\\bf x=y'+6y\end{array}\right$        

Решаем ЛОДУ 2 пор. с постоянными коэффициентами .

$\bf y''+11y'+28y=0\ \ ,\\\\\lambda ^2+11\lambda +28=0\ \ ,\ \ \ \lambda _1=-7\ \ ,\ \ \lambda _2=-4$  

Общее решение :  $\bf y(t)=C_1\cdot e^{-7t}+C_2\cdot e^{-4t}$          

Теперь подставляем найденную функцию  y(t)  во второе уравнение системы . Для этого сначала найдём   $\bf y'(t)$ .

$\bf y'(t)=-7C_1\cdot e^{-7t}-4C_2\cdot e^{-4t}\\\\x(t)=y'+6y=-7C_1\cdot e^{-7t}-4C_2\cdot e^{-4t}+6\cdot (C_1\cdot e^{-7t}+C_2\cdot e^{-4t})=\\\\=-C_1\cdot e^{-7t}+2C_2\cdot e^{-4t}$

Запишем общее решение системы .

$\left\{\begin{array}{l}\bf x(t)=-C_1\, e^{-7t}+2\, C_2\, e^{-4t}\\\bf y(t)=-7\, C_1\, e^{-7t}-4\, C_2\, e^{-4t}\end{array}\right\ \ \bf ,\ \ C_1\ ,\ C_2=const$