Question

Знайти площу фігури, обмеженої лініями
а)y=-3x+2
y=0
б)|y|=-3x+2

Answer 1

Ответ:

a)  S = 2/3 ед²

б) S = 4/3 ед²

Пошаговое объяснение:

Знайти площу фігури, обмеженої лініями

а)y=-3x+2 ,  y=0

Найдем точки пересечения

-3x + 2 = 0

$x = \dfrac{2}{3}$

Находим площадь

$\displaystyle \int\limits^{\tfrac{2}{3}} _0 (-3x + 2) \, dx =\bigg ( -\frac{3}{2}x^2 +2x \bigg) \Bigg |^{\tfrac{2}{3} } _0 = -\frac{3}{2}\cdot \frac{2^2}{3^2} + \frac{4}{3} = \frac{4}{3} - \frac{2}{3} =\frac{2}{3}$

б)|y|=-3x+2 ,  x = 0

$|y| = -3x + 2 \\\\ -3x = |y| - 2 \\\\ x = \dfrac{2-|y|}{3}$
Найдем точки пересечения
$\dfrac{2- |y|}{3} = 0 \\\\ |y| = 2\\\\ y = \pm 2$

y ∈ [ - 2 ; 2 ]

Находим площадь таким образом , если взять за пределы интегрирования   -2  и  0 , то модуль раскроется с минусом , если же взять   0 и 2 он раскроется с плюсом , т.е

$\displaystyle \int\limits^{0} _{-2} \dfrac{2-(-y)}{3} \, dy + \int\limits^{2} _{0} \dfrac{2- y}{3} \, dy = \frac{1}{3} \int\limits^{0} _{-2} (2+y) dy + \frac{1}{3} \int\limits^{2} _{0} (2-y)dy = \\\\\\\ = \frac{1}{3} \bigg ( 2y + \frac{y^2}{2} \bigg ) \Bigg|^0_{-2} + \frac{1}{3} \bigg ( 2y -\frac{y^2}{2} \bigg ) \Bigg |^2_0 = \frac{1}{3}\cdot (0 - (-4 + 2)) + \frac{1}{3}( 4 -2 -0 ) = \\\\\\\ =\frac{2}{3}+ \frac{2}{3} =\frac{4}{3}$