Question

Найти вторую производную функции y(x). Вариант Б

Answer 1

Привет!

Тебе задана функция, заданная параметрически. Чтобы найти производную, необходимо: $y'_{x} =\frac{y'_{t}}{x'_{t}}$

Давай найдем производные:

$y = \frac{1}{t} \\y_{t}' = -\frac{1}{t^{2}}\\ x = \frac{1}{1+t^{2}}\\\ x_{t}' = \frac{(1)'(1+t^2)-(1+t^2)'*1}{(1+t^2)^2} = \frac{-2t}{(1+t^2)^2} \\\\y'_{x} =\frac{y'_{t}}{x'_{t}}\\y'_{x} =\frac{\frac{-1}{t^2} }{\frac{-2t}{(1+t^2)^2} } =\frac{\frac{1}{t^2} }{\frac{2t}{(1+t^2)^2} } = \frac{x^4+2x^2+1}{2x^3}$

Теперь давай найдем вторую производную:

$y''_{x} = (y'_{x})' = (\frac{x^4+2x^2+1}{2x^3})'= \frac{(x^4+2x^2+1)'(2x^3)-(2x^3)'(x^4+2x^2+1)}{(2x^3)^2}=\frac{(4x^3+4x)(2x^3)-6x^2(x^4+2x^2+1)}{4x^6}= \frac{8x^6+8x^4-6x^6-12x^4-6x^2}{4x^6} = \frac{2x^6-4x^4-6x^2}{4x^6}=\frac{2x^4-4x^2-6}{4x^4}$

Успехов!