Question

Помагите решить систему

Answer 1

$\displaystyle\left \{ {{\log_2x+\log_2y=5} \atop {3x-y=20}} \right.$

Выразим y через x во втором уравнении:

$\displaystyle\left \{ {{\log_2x+\log_2y=5} \atop {y=3x-20}} \right.$

Подставляем второе уравнение в первое:

$\log_2x+\log_2(3x-20)=5$

Воспользуемся свойством логарифмов $\log_a b+\log_a c=\log_a b\times c$:

$\log_2(x(3x-20))=5$

Теперь нужно представить 5 в виде логарифма с основанием 2:

$\log_2(x(3x-20))=\log_2 32$

Т.к. с обеих сторон логарифмы с одинаковым основанием, то можем их отбросить:

$x(3x-20)=32$

Далее решаем обычное квадратное уравнение

$3x^2-20x-32=0\\D=(-20)^2-4\times3\times(-32)=400+384=784=28^2\\\\x_{1,2}=\dfrac{20\pm28}{2\times3}=\bigg[^\bigg8_{-\dfrac{8}{6}$

Отбрасываем отрицательные корни(по определению логарифма $\log_a b$ b не может быть отрицательным числом), следовательно

$x=8$

Если $x=8$, то $y=3\times8-20=4$

Ответ: $(8;4)$