Question

Вища математика. Розв'язати диференційне рівняння

Answer 1

Ответ:

• $\displaystyle x=C_1e^{2t}+C_2te^{2t}+e^t+\frac{1}{2} t^2e^{2t}+\frac{1}{4}$

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}-4\frac{dx}{dt} +4x=e^t+e^{2t}+1$

Перепишу это уравнение в более привычном виде:

$x''-4x'+4x=e^t+e^{2t}+1$

Это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью.

Алгоритм решения данных уравнений предельно прост:

1. Находим общее решение соответствующего однородного уравнения.

2. Находим частное решение неоднородного уравнения.

3. Находим общее решение неоднородного уравнения, складывая общее решение однородного уравнения и частное решение неоднородного уравнения.

1. Решим соответствующее однородное уравнение:

$x''-4x'+4x=0$

Составляем характеристическое уравнение и находим его корни:

$k^2-4k+4=0\\(k-2)^2=0\\k_{1,2}=2$

Получили два равных действительных корня, поэтому общее решение однородного уравнения запишется следующим образом:

$\displaystyle X=C_1e^{k_1t}+C_2te^{k_2t}=C_1e^{2t}+C_2te^{2t}$

2. Правую специальную часть $f(t)=e^t+e^{2t}+1$ разобьем на сумму нескольких функций: $f(t)=f_1(t)+f_2(t)+f_3(t)$, где $f_1(t)=e^t$, $f_2(t)=e^{2t}$, $f_3(t)=1$.

Теперь находим частные решения трех неоднородных уравнений $x''-4x'+4x=f_1(t)$, $x''-4x'+4x=f_2(t)$, $x''-4x'+4x=f_3(t)$:

1) Общий вид функции $f_1(t)$ имеет вид: $f_1(t)=Ae^t$.

$\widetilde{x}_1=Ae^t\\\widetilde{x}'_1=e^t\\\widetilde{x}''_1=e^t$

Подставляем найденные значения в соответствующее неоднородное уравнение:

$e^t-4e^t+4Ae^t=e^t\\Ae^t=e^t \;\Rightarrow A=1$

Тогда частное решение первого уравнения:

$\widetilde{x}_1=Ae^t=e^t$

2) Общий вид функции $f_2(t)$ имеет вид: $f_2(t)=At^2e^{2t}$.

$\widetilde{x}_2=At^2e^{2t}\\\widetilde{ x}_2'=(2At^2+2At)e^{2t}\\\widetilde{ x}_2''=(4At^2+8At+2A)e^{2t}$

Подставляем найденные значения в соответствующее неоднородное уравнение:

$\displaystyle (4At^2+8At+2A)e^{2t}-4(2At^2+2At)e^{2t}+4At^2e^{2t}=e^{2t}\\4At^2+8At+2A-8At^2-8At+4At^2=1\\2A=1 \Rightarrow A=\frac{1}{2}$

Тогда частное решение второго уравнения:

$\displaystyle \widetilde{x}_2=At^2e^{2t}=\frac{1}{2} t^2e^{2t}$

3) Общий вид функции $f_3(t)$ имеет вид: $f_3(t)=A$.

$\widetilde{x}_3=A\\\widetilde{ x}_3'=0\\\widetilde{ x}_3''=0$

Подставляем найденные значения в соответствующее неоднородное уравнение:

$\displaystyle 4A=1 \Rightarrow A=\frac{1}{4}$

Тогда частное решение третьего уравнения:

$\displaystyle \widetilde{x}_3=A=\frac{1}{4}$

Теперь запишем частное решение исходного неоднородного уравнения:

$\displaystyle \widetilde{x}=\widetilde{x}_1+\widetilde{x}_2+\widetilde{x}_3=e^t+\frac{1}{2} t^2e^{2t}+\frac{1}{4}$

3. Записываем общее решение исходного неоднородного уравнения:

$\displaystyle x=X+\widetilde{x}=C_1e^{2t}+C_2te^{2t}+e^t+\frac{1}{2} t^2e^{2t}+\frac{1}{4}$