Question

Решите уравнения:
$sqrt{x-2+2sqrt{x+6}}=4\ sqrt{3x+12}-sqrt{x+1} = sqrt{4x+13}$

Answer 1

$sqrt{x-2+2sqrt{x+6}}=4$
(обе части неотрицательны) подносим к квадрату
$x-2+2sqrt{x+6}=16$
перепишем в виде
$x+6+2sqrt{x+6}-24=0$
делаем замену $sqrt{x+6}=t geq 0; x=t^2-6; x+6=t^2$
Получим квадратное уравнение
$t^2+2t-24=0$
или разложив на множители
$(t+6)(t-4)=0$
произведение равно 0 если хотя бы один из множителей равен 0, поэтому
$t+6=0;t_1=-6<0$ - лишний
или
$t-4=0;t_2=4$
возвращаемся к замене
$t=4;x=4^2-6=10$
проверкой можно убедиться что найденный корень подходит
ответ: 10
==============
$sqrt{3x+12}-sqrt{x+1}=sqrt{4x+13}$
поднесем обе части к квадрату
$3x+12+x+1-2sqrt{(3x+12)(x+1)}=4x+13$
упрощаем
$sqrt{(3x+12)(x+1)}=0$
подносим к квадрату
$(3x+12)(x+1)=0$
сокращаем на 3
$(x+4)(x+1)=0$
произведение равно 0 если хотя бы один из множителей равен 0, поэтому
$x+4=0;x_1=-4;$ - не проходит проверку
$x+1=0;x_2=-1$
ответ: -1

Answer 2

Огромнейшее спасибо!