Question

Дослідити збіжність рядів

Answer 1

Ответ:

• ряд сходится

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{4^n} \bigg(1+\frac{1}{n} \bigg)^{n^2}$

Используем радикальный признак Коши, поскольку из обоих множителей хорошо извлекается корень n-ой степени.

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{ \frac{1}{4^n} \bigg(1+\frac{1}{n} \bigg)^{n^2}} =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{4} \bigg(1+\frac{1}{n} \bigg)^n=\frac{1}{4} \lim_{n\rightarrow\infty}\bigg(1+\frac{1}{n} \bigg)^n=\frac{1}{4} e$

Поскольку $\displaystyle \frac{1}{4} e < 1$, то ряд сходится.

Примечание:

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\bigg(1+\frac{1}{n} \bigg)^n=e$ - второй замечательный предел