Question

Знайдіть знаменник геометричної прогресії, якщо члени цієї прогресії є сторонами
прямокутного трикутника.

Answer 1

Ответ: $q2=\sqrt{(1+\sqrt{5})/2 }$

Объяснение:

Пусть самый короткий катет равен  b1- первый член геометрической прогрессии, а его квадрат b1².

Тогда второй член геометрической прогрессии - больший катет равен b1·q ( q -знаменатель прогрессии). Тогда его квадрат равен

b1²·q².  Тогда 3-ий член геометрической прогрессии - гипотенуза равен  b1·q² , а его квадрат равен $b1q^4$

Тогда по теореме Пифагора

$b1^2q^4=b1^2+b1^2q^2\\= > q^4=1+q^2\\= > q^4-q^2-1=0\\q^2=t\\t^2-t-1=0\\D=5\\t1=(1+\sqrt{5})/2 \\t1=(1-\sqrt{5})/2 \\\\= > q1=-\sqrt{(1+\sqrt{5})/2 } \\q2=\sqrt{(1+\sqrt{5})/2 } \\q3=-\sqrt{(1-\sqrt{5})/2 } \\q4=\sqrt{(1-\sqrt{5})/2 }$

q3  и q4 не годятся , так как число под корнем не может быть меньше 0.

q1 не годится, так как знаменатель не может быть В ДАННОМ СЛУЧАЕ меньше 0 , иначе второй катет будет меньше 0, что быть не может.

Остается только q2