Question

Вписане коло прямокутного трикутника ABC дотикається до
гіпотенузи AB у точці М.

Знайдіть сторони трикутника, якщо радіус кола дорівнює
2 см i AM менше від ВМ на 7 см.

Answer 1

Відповідь:

АВ = 13 см

АС = 5 см

ВС = 12 см

Покрокове пояснення:

Дано:

АВС - прямокутний трикутник ( ∠С = 90*)

т.О - центр вписаного кола.  

т.М - точка дотику до АВ  

ОМ = r = 2см  

ВМ - АМ = 7см  

Знайти:  АВ - ?; АС - ?; ВС - ?   Розв‘язання:

Позначимо точки дотику кола до катетів АС і ВС точками Р і К. Проведемо радіуси ОР і ОК.

  Висоти- радіуси, проведені із центра такого кола в прямокутному трикутнику до катетів утворюють з відрізками від точок дотику до вершини прямого кута квадрат зі стороною, рівною радіусу вписаного кола.
Отже, ОР=ОК=СР=СК=2см

Відрізки дотичних, проведені з однієї точки, рівні між собою.

Звідси маємо рівності:

АМ=АР - позначимо х;

ВМ = ВК. 
За умовою ВМ - АМ = 7; ВМ = 7 + АМ; 

ВМ = ВК = (7+х) 

Сторони трикутника АВС становлять:

АВ = АМ + ВМ = х + х + 7 = 2х + 7;  

АС = АР + СР = х + 2;

ВС = СК + ВК = 2 + х+ 7 = х + 9. 
 За теоремою Піфагора:

АВ^2 = АС^2 + ВС^2  

Отже:

(2х+7)^2 = (х+2)^2 + (х+9)^2 

4х^2 +28х+49 = х^2 +4х+4+ х^2+18х+81    
4х^2 - 2х^2 + 28х - 22х +49 - 85 = 0 

2х^2 + 6х - 36 = 0  | :2  

х^2 + 3х - 18= 0 

D = 3^2 - 4•1•(18)

D = 9+72 = 81

 x1 = (-3 +9) :2 = 3  

x2 = (-3 - 9) :2 = -6 не задовільняє умову.  
Отже, АМ =3 см,
тоді ВМ = 3+7=10 см. 
Сторони трикутника становлять:

АВ = 13 см

АС = 5 см

ВС = 12 см