Question

Помогите решить срочно пожалуйста

Answer 1

Ответ:

Hеравенство :

$\bf log_{\frac{1}{2}}\ \dfrac{2x-1}{16-x^2}\geq 2$  

ОДЗ:

 $\bf \dfrac{2x-1}{16-x^2} > 0\ \ ,\ \ \dfrac{2x-1}{(4-x)(4+x)} > 0\ \ ,\ \ \dfrac{2x-1}{(x-4)(x+4)} < 0\\\\\\znaki:\ \ ---(-4)+++(1/2)---(4)+++\\\\x\in (-\infty ;\, -4\ )\cup (\ 0,5\ ;\ 4\, )$            

$\bf log_{\frac{1}{2}}\ \dfrac{2x-1}{16-x^2}\geq log_{\frac{1}{2}}\ \dfrac{1}{4}$  

Логарифмическая функция с основанием  0,5<1 убывающая, поэтому

$\bf \dfrac{2x-1}{16-x^2}\leq \dfrac{1}{4}\ \ ,\ \ \ \dfrac{2x-1}{-(x^2-16)}\leq \dfrac{1}{4}\ \ ,\ \ \ -\dfrac{2x-1}{x^2-16}-\dfrac{1}{4}\leq 0\ \ ,\\\\\\\dfrac{2x-1}{x^2-16}+\dfrac{1}{4}\geq 0\ ,\ \ \dfrac{4(2x-1)+-(x^2-16)}{4\, (x-4)(x+4)}\geq 0\ \ ,\ \ \ \dfrac{8x-4+x^2-16}{4\, (x-4)(x+4)}\geq 0\ \ ,\\\\\\\dfrac{x^2+8x-20}{(x-4)(x+4)}\geq 0\ \ ,\\\\\\x^2+8x-20=(x+4)^2-16-20=(x+4)^2-36=\\\\=(x+4-6)(x+4+6)=(x-2)(x+10)$

$\bf \dfrac{(x-2)(x+10)}{(x-4)(x+4)}\geq 0$    

Решаем неравенство методом интервалов .

Нули числителя и знаменателя:  

$\bf x_1=2\ ,\ x_2=-10\ ,\ x_3=-4\ ,\ x_4=4$

Знаки:  $\bf +++[-10\, ]---(-4\ )+++[\ 2\ ]---(4)+++$  

$\bf x\in (-\infty\ ;-10\ ]\cup (\, -4\ ;\ 2\ ]\cup (\, 4\, ;+\infty \, )$  

Теперь такое объединение промежутков пересечём с ОДЗ , тогда

$\left\{\begin{array}{l}\bf x\in (-\infty\ ;-10\ ]\cup (\, -4\ ;\ 2\ ]\cup (\, 4\, ;+\infty \, )\\\bf x\in (-\infty ;-4\, )\cup (\ 0,5\ ;\ 4\ )\end{array}\right\ \ \ \Rightarrow \\\\\\\bf x\in (\infty \ ;-10\ ]\cup (\ 0,5\ ;\ 2\ ]$

Ответ:  $\boldsymbol{x\in (\infty \ ;-10\ ]\cup (\ 0,5\ ;\ 2\ ]}$  .