Question

Доведіть, що при будь-якому n є натуральним, значення виразу 2·$10^{n}$ + 10·$4^{2n}$ кратне 6.

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$2 \times {10}^{n} + 10 \times {4}^{2n} = 2 \times {10}^{n} + 10 \times {16}^{n} = 2( {10}^{n} + 5 \times {16}^{n})$

Первый множитель это два, значит, для того, чтобы доказать делимость исходного числа на 6, нужно доказать делимость второго множителя на 3

Итак, 10 в степени n, где n-натуральное, всегда даёт остаток 1 при делении на 3. 16 в степени n также даёт остаток 1 при любом значении n. Пятёрка даёт остаток 2.

Мы имеем право умножать и складывать остатки, получим 1+2*1=3. Выражение во втором множителе сравнимо с нулём по модулю 3

Поскольку исходное выражение делится одновременно на 2 и на 3, то оно кратно 6 ч.т.д.