Из последовательности чисел от 1 до 40 произвольно выбрали 3 числа. Найти вероятность событий: А={сумма выбранных чисел четная},B={ сумма выбранных чисел больше 10}
Ответы
Відповідь:
В даній задачі потрібно знайти ймовірність двох подій: А={сумма вибраних чисел парна} і В={сумма вибраних чисел більше 10}.
Перш за все, визначимо загальну кількість можливих варіантів вибрати 3 числа з послідовності від 1 до 40. Це можна зробити за допомогою формули комбінаторики - способу вибрати k об'єктів з n об'єктів:
C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!),
де n - загальна кількість чисел, k - кількість чисел, які потрібно вибрати.
В нашому випадку n = 40 (тому що ми вибираємо числа з послідовності від 1 до 40) і k = 3 (тому що ми вибираємо 3 числа).
C(40, 3) = 40! / (3! * (40-3)!) = 40! / (3! * 37!) = (40 * 39 * 38) / (3 * 2 * 1) = 9880.
Таким чином, загальна кількість можливих варіантів вибрати 3 числа з послідовності від 1 до 40 дорівнює 9880.
Тепер розглянемо подію А={сумма вибраних чисел парна}. Для цього необхідно порахувати кількість варіантів, коли сума вибраних чисел буде парною.
Якщо ми виберемо 3 парні числа, то сума буде парною. Від 1 до 40 включно є 20 парних чисел, тому кількість способів вибрати 3 парні числа дорівнює:
C(20, 3) = 20! / (3! * (20-3)!) = 20! / (3! * 17!) = (20 * 19 * 18) / (3 * 2 * 1) = 1140.
Тепер розглянемо подію В={сумма вибраних чисел більше 10}. Для цього необхідно порахувати кількість варіантів, коли сума вибраних чисел буде більше 10.
Ми можемо розглянути декілька випадків:
1. Якщо всі 3 числа будуть більше 10, то їх сума буде більше 10.
Кількість способів вибрати 3 числа більше 10 дорівнює:
C(30, 3) = 30! / (3! * (30-3)!) = 30! / (3! * 27!) = (30 * 29 * 28) / (3 * 2 * 1) = 4060.
2. Якщо одне число буде менше або рівне 10, а два числа - більше 10, то їх сума також буде більше 10.
Кількість способів вибрати одне число менше або рівне 10 і два числа більше 10 дорівнює:
C(10, 1) * C(30, 2) = (10! / (1! * (10-1)!) ) * (30! / (2! * (30-2)!)) = (10 * 29 * 28) / (1 * 2) = 4060.
3. Якщо всі 3 числа будуть менше або рівні 10, то їх сума не буде більше 10.
Таким чином, загальна кількість способів вибрати 3 числа, сума яких більше 10, дорівнює:
4060 + 4060 = 8120.
Отже, ми знаємо, що загальна кількість можливих варіантів вибрати 3 числа з послідовності від 1 до 40 дорівнює 9880, кількість варіантів, коли сума вибраних чисел буде парною (подія А), дорівнює 1140, а кількість варіантів, коли сума вибраних чисел буде більше 10 (подія В), дорівнює 8120.
Тепер ми можемо обчислити ймовірності цих подій:
P(A) = Кількість сприятливих випадків події А / Загальна кількість можливих варіантів = 1140 / 9880 ≈ 0,1156.
P(B) = Кількість сприятливих випадків події В / Загальна кількість можливих варіантів = 8120 / 9880 ≈ 0,8225.
Отже, ймовірність того, що сума вибраних чисел буде парна (подія А), становить приблизно 0,1156, а ймовірність того, що сума вибраних чисел буде більше 10 (подія В), становить приблизно 0,8225.