Question

Диагонали трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке О и равны 8 и 5. Найдите среднюю линию трапеции, если угол ВОС=60 градусов.

Answer 1

 Пусть основания большее и меньшее соответственно равны $a,b$   
 $frac{a+b}{2}*h=frac{8*5*sin60}{2}\ (a+b)h=20sqrt{3}$ где $h-$ высота.  Из подобия треугольников  $BOC AOD$  , обозначим 
  $BO=x\ OC=y\ AO=8-y\ OD=5-x$ тогда 
  $frac{x}{5-x}=frac{y}{8-y}$
  и 
 $frac{8-y}{y}=frac{b}{a}$ 
 по теореме косинусов 
$b^2=(5-x)^2+(8-y)^2-(5-x)(8-y)\ a^2=x^2+y^2-xy$ 
 подставляя 
 $frac{(8-y)^2}{y^2} = frac{(5-x)^2+(8-y)^2-(5-x)(8-y)}{x^2+y^2-xy}\ (8x-5y)(y^2-2xy-3y+8x)=0\ 8x-yx=5y-xy\ 8x=5y\ \ x=1\ y=frac{8}{5}\\ a=1.4\ b=5.6$ 
 тогда средняя линия равна      
 $frac{1.4+5.6}{2}=3.5$