Знайти загальний розв'язок однорідного диференціального рівняння
(x²+y²)dx-xydy=0
Ответы
Ответ:
Для знаходження загального розв'язку однорідного диференціального рівняння (x²+y²)dx - xydy = 0, спробуємо використати метод розподілення змінних.
1. Поділимо обидві частини рівняння на x²:
(dx)/(x) - (ydy)/(x²+y²) = 0.
2. Замінимо змінні, вводячи нову змінну u = y/x. Тоді можна записати, що y = ux та dy = udx + xdu.
3. Підставимо ці значення у рівняння:
(dx)/(x) - (uxdx + xdu)/(x²+u²x²) = 0.
4. Скоротимо деякі члени:
(dx)/(x) - (uxdx + xdu)/(x²(1+u²)) = 0.
5. Перегрупуємо:
(dx)/(x) - udx/(1+u²) - (du)/(1+u²) = 0.
6. Зігноруємо дужки, оскільки вони не впливають на розв'язок:
(dx)/(x) - udx/(1+u²) - (du)/(1+u²) = 0.
7. Об'єднаємо дроби з dx:
((1-u)/(x))dx - (du)/(1+u²) = 0.
8. Перемножимо обидві частини на (1+u²):
((1-u)/(x))(1+u²)dx - (du) = 0.
9. Розкриємо дужки:
((1-u)(1+u²))/(x)dx - (du) = 0.
10. Скоротимо деякі члени:
((1-u)(1+u²))dx - xdu = 0.
11. Поділимо на (1-u)(1+u²):
(dx)/(x) - (du)/(1-u²) = 0.
12. Зігноруємо дужки:
(dx)/(x) - (du)/(1-u²) = 0.
13. Розмінимо змінні:
(du)/(1-u²) - (dx)/(x) = 0.
14. Знайдемо інтеграл обох частин рівняння:
∫(du)/(1-u²) - ∫(dx)/(x) = C,
де C - довільна константа інтегрування.
15. Обчислимо інтеграли:
arctanh(u) - ln|x| = C.
16. Замінимо назад змінну u = y/x:
arctanh(y/x) - ln|x| = C.
Пошаговое объяснение:
Можно лучший ответ)