Question

5. Дослідити функцію та побудувати її графік у = 4х^2-x^4

Answer 1

Ответ:

. Область определения функции: множество всех действительных чисел

D(f)=(−∞;+∞).D(f)=(−∞;+∞).

2. Чётность и нечётность функции: проверим на четность функции с помощью соотношений: f(−x)=−f(x)=f(x)f(−x)=−f(x)=f(x)

�(−�)=4⋅(−�)2−(−�)4=4�2−�4=�(�)f(−x)=4⋅(−x)2−(−x)4=4x2−x4=f(x)

Итак, f(-x) = f(x) значит заданная функция является четной.

3. Точки пересечения с осями координат.

3.1. точки пересечения с осью Ох. График функции пересекает ось абсциссу при f = 0 значит нужно решить уравнение:

4�2−�4=0−�2(�2−4)=0�1=0;�2=2�3=−24x2−x4=0−x2(x2−4)=0x1=0;x2=2x3=−2

(0;0), (2;0), (-2;0) - точки.

3.2. точки пересечения с осью Оу. График пересекает ось ординат, когда х=0, т.е. подставляем x=0 в функцию, получим

�(0)=4⋅02−04=0f(0)=4⋅02−04=0

(0;0) - точка

4. Функция не является периодичной.

5. Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение �′(�)=0f′(x)=0

�′(�)=(4�2−�4)′=(4�2)′−(�4)′=8�−4�38�−4�3=0−4�(�2−2)=0�1=0�2,3=±2f′(x)=(4x2−x4)′=(4x2)′−(x4)′=8x−4x38x−4x3=0−4x(x2−2)=0x1=0x2,3=±2

Найдем интервалы возрастание и убывания функции:

______+____(-√2)_____-____(0)________+_____(√2)______-____

Функция возрастает на промежутке �∈(−∞;−2)∪(0;2)x∈(−∞;−2)∪(0;2) , а убывает - �∈(−2;0)∪(2;+∞)x∈(−2;0)∪(2;+∞)

�=±2x=±2 - локальные максимумы

�=0x=0 - локальный минимум.

6. Точки перегиба.

Вторая производная функции: �′′(�)=−12�2+8f′′(x)=−12x2+8

−12�2+8=0�1,2=63−12x2+8=0x1,2=36