знайти площу чотирикутника ABCD, якщо A(7;6;8); B(2;8;6); C(3;4;2), D(8;2;4)
Ответы
Відповідь:
Пояснення:
Спочатку знайдемо довжини сторін чотирикутника за формулою відстані між точками в просторі:
AB = sqrt((2-7)^2 + (8-6)^2 + (6-8)^2) = sqrt(29)
BC = sqrt((3-2)^2 + (4-8)^2 + (2-6)^2) = sqrt(29)
CD = sqrt((8-3)^2 + (2-4)^2 + (4-2)^2) = sqrt(29)
DA = sqrt((7-8)^2 + (6-2)^2 + (8-4)^2) = sqrt(29)
Далі знайдемо довжини діагоналей AC і BD:
AC = sqrt((3-7)^2 + (4-6)^2 + (2-8)^2) = 4*sqrt(2)
BD = sqrt((2-8)^2 + (8-2)^2 + (6-4)^2) = 2*sqrt(29)
Тепер можемо застосувати формулу Піка для обчислення площі чотирикутника з невідомим радіусом вписаного кола:
S = (1/2) * BD * r
де r - радіус вписаного кола, який знайдемо за формулою:
r = sqrt(((s-DA)*(s-AB)*(s-BC)*(s-CD))/(s))
де s - півпериметр чотирикутника:
s = (AB + BC + CD + DA) / 2 = 4*sqrt(29) / 2 = 2*sqrt(29)
Підставимо значення довжин сторін і півпериметра в формули:
r = sqrt(((2*sqrt(29)-sqrt(29))*(2*sqrt(29)-sqrt(29))*(2*sqrt(29)-sqrt(29))*(2*sqrt(29)-sqrt(29)))/(2*sqrt(29))) = sqrt(58)
S = (1/2) * 2*sqrt(29) * sqrt(58) = 58