Question

Обчислити обʼєми тіл, утворених обертанням навколо осі оx: y=lnx, x=0, y=1,y=0

Answer 1

Ответ:

Формула для вычисления объёма тела, полученного вращением криволинейной трапеции около оси ОХ :

    $\displaystyle \bf V=\pi \int\limits^{a}_{b}\, y^2(x)\, dx$   .

Задана область, ограниченная линиями  

     $\bf y=lnx\ ,\ x=0\ ,\ y=1\ ,\ y=1$

$\displaystyle \bf V=\pi \int\limits_0^1\, 1^2dx+\pi \int\limits^{e}_1\, (1^2-ln^2x)\, dx=\pi \cdot x\Big|_0^1+\pi \cdot x\Big|_1^{e}-\pi \int\limits^{e}_1\, ln^2x\, dx=\\\\\\=\pi \, (1-0)+\pi \, (e-1)-\pi \int\limits^{e}_1\, ln^2x\, dx=\pi e-\pi \int\limits^{e}_1\, ln^2x\, dx\ ;$

Вычислим отдельно интеграл

$\bf \displaystyle \int\limits^{e}_1\, ln^2x\, dx=\Big[\ u=ln^2x\ ,\ du=2\, lnx\cdot \frac{dx}{x}\ ,\ dv=dx\ ,\ v=x\ \Big]=\\\\\\=x\cdot ln^2x\Big|_1^{e}-\int\limits^{e}_1\, x\cdot 2\, lnx\cdot \frac{dx}{x}=x\cdot ln^2x\Big|_1^{e}-2\int\limits^{e}_1\, lnx\, dx=$  

$\bf \displaystyle =\Big[\ u=lnx\ ,\ du=\frac{dx}{x}\ ,\ dv=dx\ ,\ v=x\ \Big]=\\\\\\=e\cdot ln^2e-1\cdot ln^21-2\cdot \Big(x\cdot lnx\Big|_1^{e}-\int\limits_1^{e}\, dx\Big)=\\\\\\=e-0-2\cdot \Big(e\cdot lne-1\cdot ln1-x\Big|_1^{e}\Big)=e-2\cdot \Big(e-0-e+1\Big)=e-2\ ;$  

Подставим значение интеграла в выражение для вычисления V .

$\bf \displaystyle V=\pi e-\pi \, (e-2)=\pi e-\pi e+2\pi =\boxed{\bf \ 2\, \pi \ }$