СРОЧНО!!!!
Знайдіть площу фігури, обмеженої параболою y=x^2+2x+2 та прямою y=2x+3
Ответы
Відповідь:
Для знаходження площі фігури, обмеженої параболою та прямою, спочатку необхідно знайти точки їх перетину.
Прирівнюємо рівняння параболи та прямої:
x^2 + 2x + 2 = 2x + 3
Переносимо всі члени на один бік рівності:
x^2 + 2x - 1 = 0
Застосовуємо квадратне рівняння:
x1,2 = (-2 ± √(2^2 - 4·1·(-1))) / (2·1) = (-2 ± √6) / 2
Отже, точки перетину цих фігур мають координати:
A = (-2 - √6)/2, yA = 2A + 3
B = (-2 + √6)/2, yB = 2B + 3
Щоб знайти площу фігури, обмеженої цими кривими, потрібно знайти площу фігури, обмеженої параболою та вертикальною прямою, що проходить через точки перетину (A, yA) та (B, yB), і віссю абсцис.
Для цього обчислюємо інтеграл від різниці функцій обох кривих між точками перетину:
∫[A,B] (2x + 3 - (x^2 + 2x + 2)) dx = ∫[A,B] (-x^2 + x + 1) dx
Обчислюємо цей інтеграл:
∫[A,B] (-x^2 + x + 1) dx = [-x^3/3 + x^2/2 + x]_A^B = ((-B^3 + B^2 + B) - (-A^3 + A^2 + A)) / 3
Підставляємо значення точок A та B:
((-B^3 + B^2 + B) - (-A^3 + A^2 + A)) / 3 = ((-(−2 + √6)^3 + (−2 + √6)^2 − (−2 + √6)) − (−(−2 − √6)^3 + (−2 − √6)^2 − (−2 − √6))) / 3 ≈ 5.04
Отже, площа фігури, обмеженої параболою y=x^2+2x+2 та прямою y=2x+3, приблизно дорівнює 5.04 одиниць квадратних.