Question

162. Докажите, что при любом натуральном n значение выражения ( 9/n² + n/3 ):( 3/n²-1/n+1/3 )- является натуральным числом.

ПРОШУ ПОМОГИТЕ,ДАЮ 90 БАЛЛОВ​

Answer 1

$(\frac{9}{n^2} + \frac{n}{3}) : (\frac{3}{n^2} - \frac{1}{n} + \frac13) = \frac{27 + n^3}{3n^2} : \frac{9 - 3n + n^2}{3n^2} =\\= \frac{27 + n^3}{3n^2} \cdot \frac{3n^2}{9 - 3n + n^2} = \frac{3^3+n^3}{n^2 -3n + 9}$

Раскроем сумму кубов сверху

$\frac{(n+3)(n^2 - 3n + 9)}{n^2 - 3n + 9} = n + 3$

Для любого натурального $n$ выражение $n + 3$ будет также натуральным