Обчислити площу фігури, обмеженої лініями: у= х^2 + 2; у − х =4
Ответы
Ответ:
Сначала построим графики обеих функций: параболы
�
=
�
2
+
2
y=x
2
+2 и обычной прямой
�
=
�
+
4
y=x+4 (чертеж смотрите ниже). Точками пересечения будут являться
(
−
1
;
3
)
(−1;3) и
(
2
;
6
)
(2;6) (для того, чтобы их найти, просто решим квадратное уравнение
�
2
+
2
=
�
−
4
x
2
+2=x−4 или же
�
2
−
�
−
2
=
0
x
2
−x−2=0 теоремой Виета).
Чтобы найти искомую площадь, мы найдем площадь под графиком (выделено светло-голубым и желтым цветом) и площадь обведенной серым трапеции. После из второго вычтем первое и получим то, что нам нужно.
1). Площадь трапеции.
�
�
�
=
3
⋅
3
+
3
⋅
3
2
=
13
,
5.
S
tr
=3⋅3+
2
3⋅3
=13,5.
2). Площадь под графиком.
Нам понадобится следующая формула (Ньютона-Лейбница):
∫
�
�
�
(
�
)
�
�
=
�
(
�
)
∣
�
�
=
�
(
�
)
−
�
(
�
)
.
b
∫
a
f(x)dx=F(x)∣
a
b
=F(b)−F(a).
Мы будем искать площадь на отрезке
[
−
1
;
2
]
[−1;2] :
∫
−
1
2
(
�
2
+
2
)
�
�
=
(
�
2
+
1
2
+
1
+
2
⋅
�
)
�
�
∣
−
1
2
=
(
�
3
3
+
2
�
)
�
�
∣
−
1
2
=
=
(
2
3
3
+
2
⋅
2
)
−
(
(
−
1
)
3
3
+
2
⋅
(
−
1
)
)
=
8
3
+
4
+
1
3
+
2
=
2
+
3
+
4
=
9.
−1
∫
2
(x
2
+2)dx=(
2+1
x
2+1
+2⋅x)dx∣
−1
2
=(
3
x
3
+2x)dx∣
−1
2
=
=(
3
2
3
+2⋅2)−(
3
(−1)
3
+2⋅(−1))=
3
8
+4+
3
1
+2=2+3+4=9.
3). Разность - искомая площадь.
�
=
13
,
5
−
9
=
4
,
5.
S=13,5−9=4,5.
Задача решена!