Question

40 БАЛЛОВ! 1. В основі піраміди лежить прямокутний трикутник із катетом а і протилежним кутом альфа. знайти об'єм піраміди, якщо всі бічні ребра нахилені до площини основи під одним і тим самим кутом.
В основе пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетом а и противоположным углом альфа. найти объем пирамиды, если все боковые ребра наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом.
2. У прямокутному паралелепіпеді діагональ дорівнює а і утворює з основою кут бета. Кут між діагоналлю основи та її стороною дорівнює альфа. Знайдіть бічну поверхню паралелепіпеда.
В прямоугольном параллелепипеде диагональ равна а и образует с основанием угол бета. Угол между диагональю основания и его стороной равен альфа. Найдите боковую поверхность параллелепипеда.​

Answer 1

Ответ:

1)Для розв'язання задачі використаємо формулу об'єму піраміди:

V = (1/3) * S_base * h,

де S_base - площа основи піраміди, h - висота піраміди.

Площа прямокутного трикутника з катетом а і протилежним кутом альфа дорівнює S_base = (1/2) * a^2 * sin($\alpha$).

Далі знайдемо висоту піраміди. Нехай h1 - висота прямокутного трикутника з катетом а і протилежним кутом альфа, а h2 - висота, опущена з вершини піраміди на основу. Тоді за теоремою Піфагора маємо:

h1 = a * sin($\alpha$),

h2 = a * cos($\alpha$).

Оскільки всі бічні ребра нахилені до площини основи під одним і тим самим кутом, то висота піраміди h дорівнює h2, тобто h = a * cos($\alpha$).

Підставляємо знайдені значення в формулу об'єму піраміди:

V = (1/3) * (1/2) * a^2 * sin($\alpha$) * a * cos($\alpha$) = (1/6) * a^3 * sin($\alpha$) * cos($\alpha$).

Отже, об'єм піраміди дорівнює (1/6) * a^3 * sin(alpha) * cos(alpha).

2)Позначимо довжини сторін паралелепіпеда як a, b, і c, так що a є діагоналлю основи, а кут між діагоналлю і однією зі сторін дорівнює $\alpha$. Позначимо також кут між діагоналлю і основою як $\beta$. З трикутника, утвореного діагоналлю, стороною паралелепіпеда і його висотою, маємо:

cos $\alpha$$=$ $\frac{b}{a}$ = b= a$cos$a.

З трикутника, утвореного діагоналлю, бічним ребром паралелепіпеда і половиною однієї зі сторін основи, маємо:

cos$\beta$ = $\frac{c/2}{a }$ = c = 2a cos $\beta$

Таким чином, бічна поверхня паралелепіпеда складається з двох прямокутників площиною bc і двох прямокутників площиною ac, тобто загальна площа бічної поверхні дорівнює:

S = 2bc + 2ac = 2a cos $\beta$ · a cos a + 2a cos $\beta$  · a = 2$a^{2}$ (cos $\beta$ cos $\alpha$ + cos $\beta$)

Объяснение: