Розв’яжи рівняння:
а)b^4 − 6b^2 + 8 = 0
Виділи квадрат двочлена
а) x^2 − 10x − 5;
б) x^2 + 6x + 2;
Ответы
Для розв’язування рівняння b^4 − 6b^2 + 8 = 0 можна провести заміну змінної, наприклад, b^2 = x. Тоді рівняння перетвориться на квадратне:
x^2 - 6x + 8 = 0
Тепер можна виділити квадрат двочлена, віднявши від обох частин рівняння число 2:
x^2 - 6x + 9 - 1 = 0
(x - 3)^2 - 1 = 0
(x - 3)^2 = 1
x - 3 = ±1
Отже, маємо два рішення для x: x = 2 або x = 4. Повертаючись до початкової змінної b, отримуємо:
b^2 = 2 або b^2 = 4
Отже, b = ±√2 або b = ±2.
б) Щоб виділити квадрат двочлена в x^2 + 6x + 2, спочатку потрібно знайти коефіцієнти a, b та c в загальному вигляді квадратного тричлена (ax^2 + bx + c)^2. Розкривши дужки, отримаємо:
(x^2 + 6x + 2) = (x^2 + 2·3x·1 + 3^2) - 3^2 + 2
= (x + 3)^2 - 7
Отже, рівняння x^2 + 6x + 2 можна переписати у вигляді (x + 3)^2 - 7 = 0. Додавши 7 до обох частин рівняння, отримуємо:
(x + 3)^2 = 7
x + 3 = ±√7
Отже, маємо два рішення для x: x = -3 + √7 або x = -3 - √7.