Question

решите неравенства

а) sin 3x > 1/2

б) tg x/2 < 1

Answer 1

Ответ:

а) Решим неравенство sin 3x > 1/2 на промежутке [0; 2π]:

Для начала найдем решения уравнения sin 3x = 1/2:

sin 3x = 1/2 ⇔ 3x = π/6 + 2πk или 3x = 5π/6 + 2πk, где k - целое число.

Решения этого уравнения на промежутке [0; 2π]: x₁ = π/18, x₂ = 5π/18, x₃ = 7π/18, x₄ = 11π/18, x₅ = 13π/18, x₆ = 17π/18.

Поскольку функция sin 3x периодическая с периодом 2π, то решения неравенства можно найти, рассматривая промежутки длины 2π, начиная с любого решения уравнения sin 3x = 1/2.

На промежутке [0; 2π] решениями неравенства sin 3x > 1/2 являются все x из промежутков:

[π/18; 5π/18), [13π/18; 17π/18].

б) Решим неравенство tg x/2 < 1:

Перепишем неравенство с помощью тригонометрических формул:

tg x/2 < 1 ⇔ sin x/ (1 + cos x) < 2/ (1 + cos x) ⇔ sin x < 2cos x.

Решим полученное неравенство на промежутке [0; 2π]:

sin x < 2cos x ⇔ sin x - 2cos x < 0 ⇔ cos (x - π/2) - sin x > 0.

Найдем решения уравнения cos (x - π/2) - sin x = 0:

cos (x - π/2) - sin x = 0 ⇔ cos (x - π/4)cos (π/4 - x) - sin (π/4 - x)sin (x - π/4) = 0 ⇔ cos (x - π/4) - sin (x - π/4) = 0.

Решения этого уравнения на промежутке [0; 2π]: x₁ = 3π/4, x₂ = 7π/4.

Поскольку функция cos (x - π/2) - sin x периодическая с периодом 2π, то решения неравенства можно найти, рассматривая промежутки длины 2π, начиная с любого решения уравнения cos (x - π/2) - sin x = 0.

На промежутке [0; 2π] решениями неравенства tg x/2 < 1 являются все x из промежутков:

[0; 3π/4