y=-x^4+8x^3-16x^2+9 пожалуйста помогите исследовать и построить график
Ответы
Ответ:
Для исследования квадратного трёхчлена y=-x^4+8x^3-16x^2+9, найдём его производную:
y' = -4x^3 + 24x^2 - 32x
Найдём корни производной:
-4x^3 + 24x^2 - 32x = 0
-4x(x^2 - 6x + 8) = 0
-4x(x - 2)(x - 4) = 0
Корни производной: x1=0, x2=2, x3=4.
Составим таблицу знаков производной:
x < 0 | 0 < x < 2 | 2 < x < 4 | x > 4
-----|---------|----------|-----
y' | - | + | -
Из таблицы следует, что функция убывает на интервале (-∞,0), возрастает на интервале (0,2), убывает на интервале (2,4) и возрастает на интервале (4,+∞). Точки перегиба находятся в x=2 и x=4.
Найдём точки экстремума:
y'(x) = 0
-4x(x - 2)(x - 4) = 0
Корни уравнения: x1=0, x2=2, x3=4.
Подставим найденные корни в исходную функцию:
y(0) = 9
y(2) = -7
y(4) = 9
Таким образом, точки экстремума: (0,9), (2,-7), (4,9).
Для построения графика функции y=-x^4+8x^3-16x^2+9 можно использовать полученную информацию. График функции будет иметь вид:
|
| /
| /
| /
| /
| /
| /
|/
+---------------
График функции проходит через точки (0,9), (2,-7) и (4,9). Точки перегиба находятся в x=2 и x=4. Функция убывает на интервале (-∞,0) и (2,4), и возрастает на интервале (0,2) и (4,+∞).