Question

Помогите пожалуйста по геометрии Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна 10,диагональ призмы образует с плоскостью основания угол 45
градусов.Найдите диагональ призмы,площадь боковой поверхности призмы, угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани.

Answer 1

Ответ:
Рассмотрим правильную четырехугольную призму ABCDA'B'C'D' со стороной основания AB = B'C' = CD = A'D' = 10. При этом, каждая из боковых граней является равнобедренной трапецией ABCA' или BCD'B', поэтому высота призмы равна [ABCA'] = [BCD'B'] = (1/2)*AB*(AB - BC)/AB = 5*(2 - √(2)). Также, все ребра призмы имеют одинаковую длину AB = 10.

Диагональ призмы является гипотенузой прямоугольного треугольника ABC (или A'B'C'), где АВ = ВС = СD = DA = 10. Значит, диагональ призмы равна √(AB² + BC²) = √(10² + 10²) = √200 = 10√2.

Угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани равен углу между прямой AB и плоскостью BCD (которые лежат в одной плоскости). Так как дан угол между диагональю и плоскостью основания, который равен 45 градусов, то угол между диагональю и плоскостью боковой грани будет равен 45 - 90 = -45 градусов (отрицательный угол означает, что два вектора направлены в противоположные стороны).

Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей всех боковых граней. Так как все боковые грани равны, то достаточно найти площадь одной боковой грани. Пусть M и N - середины сторон BC и A'D' соответственно. Тогда MP = NQ = [BCD'] = [A'CD] = [ABC'] = [A'B'C] = (1/2)*BC*AB/2 = 25, так как BC равен стороне основания АB = 10, а высота каждой боковой грани равна 5*(2 - √(2)). Таким образом, длина боковой грани равна PQ = √(MP² + MQ²) = √(25² + (5*(2 - √(2)))²) ≈ 25.07. Площадь боковой грани равна SPQ = (1/2)*PQ*AB = 125*(2 - √(2)) ≈ 170.71. Следовательно, площадь боковой поверхности призмы равна 4*SPQ ≈ 682.84.