Найдите площадь треугольника, образованного осью абсцисс и двумя соприкасающимися, проведенными из точки (0; -3) к графику функции у = 2+х^2
Ответы
Объяснение:
Первым шагом найдем точки пересечения графика функции y = 2 + x^2 с осью абсцисс. Для этого решим уравнение:
2 + x^2 = 0
x^2 = -2
Так как квадрат любого числа не может быть отрицательным, то данное уравнение не имеет решений, а значит график функции не пересекает ось абсцисс.
Теперь построим прямые, проведенные из точки (0; -3) к графику функции. Одна из них будет касательной к графику функции в точке (0; 2), а вторая - проходить через точку (0; -3) и пересекать график функции в другой точке.
Найдем уравнение касательной к графику функции в точке (0; 2). Для этого найдем производную функции:
y' = 2x
В точке (0; 2) производная равна нулю, а значит касательная имеет уравнение y = 2.
Найдем уравнение второй прямой. Так как она проходит через точку (0; -3), то ее уравнение имеет вид y = kx - 3. Найдем коэффициент k, используя условие прохождения прямой через точку пересечения с графиком функции. Для этого решим систему уравнений:
y = kx - 3
y = 2 + x^2
Подставим первое уравнение во второе:
kx - 3 = 2 + x^2
x^2 - kx + 5 = 0
Дискриминант этого квадратного уравнения должен быть неотрицательным, чтобы уравнение имело решения и прямая пересекала график функции:
D = k^2 - 4*5 >= 0
k^2 >= 20
|k| >= 2*sqrt(5)
Так как прямая проходит через точку (0; -3), то k < 0. Из этих условий следует, что -2*sqrt(5) <= k < 0.
Теперь найдем точки пересечения второй прямой с графиком функции. Для этого решим систему уравнений:
y = kx - 3
y = 2 + x^2
Подставим первое уравнение во второе:
kx - 3 = 2 + x^2
x^2 - kx + 5 = 0
Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:
D = k^2 - 4*5 = k^2 - 20
Так как D >= 0, то уравнение имеет решения:
x1,2 = (k +- sqrt(k^2 - 20)) / 2
Точки пересечения будут иметь координаты (x1; kx1 - 3) и (x2; kx2 - 3).
Теперь осталось найти площадь треугольника, образованного осью абсцисс и двумя прямыми. Очевидно, что основание треугольника будет иметь длину |x1 - x2|, а высота - |kx1 - 3|. Тогда площадь треугольника будет равна:
S = 1/2 * |x1 - x2| * |kx1 - 3|