Question

Осьовий переріз циліндра є квадратом із діагоналлю 4см. Обчислити площу осьового перерізу, площу бічної поверхні та обьем циліндра.

Answer 1

Якщо діагональ осьового перерізу циліндра є квадратом, то сторона квадрата може бути знайдена за формулою діагоналі: d = √2a, де "d" - діагональ, "a" - сторона квадрата. Отже, сторона квадрата дорівнює a = d/√2.

Площа осьового перерізу циліндра дорівнює площі квадрата, тому
Sкв = a^2 = (d/√2)^2 = d^2/2 = (4 см)^2/2 = 8 см^2.

Отже, площа осьового перерізу циліндра дорівнює 8 кв. см.

Бічна поверхня циліндра складається з прямокутника, довжина якого дорівнює периметру осьового перерізу, а ширина - висоті циліндра. Периметр квадрата можна знайти як P = 4a. Висоту циліндра можна знайти за допомогою формули h = V / (πr^2), де V - об'єм циліндра, r - радіус циліндра.
Для знаходження радіуса, візьмемо півдіагональ осьового перерізу, яка дорівнює a√2/2. Тоді радіус циліндра буде r = a√2/4.

Отже, довжина прямокутника дорівнює P = 4a = 4(d/√2) = 2d, ширина дорівнює h = V / (πr^2) = V / (πa^2/16) = 16V / (πd^2).

Тоді площа бічної поверхні дорівнює

Sб = Ph = 2d * 16V / (πd^2) = 32V / π.

Об'єм циліндра можна знайти за формулою V = πr^2h = πa^2h / 16. Підставляючи значення для радіуса та висоти, отримуємо:
V = πa^2h / 16 = π(d^2/2) * (16V / π) / 16 = Vd^2/2π.

Отже, об'єм циліндра дорівнює

V = (2π/ d^2