Question

При яких значеннях а система рівнянь 2х+ау=13, 8х-12у=52,має безліч розв'язків

Answer 1

Система рівнянь має безліч розв'язків, якщо вона є лінійно залежною, тобто одне рівняння можна отримати з іншого шляхом лінійної комбінації.

Запишемо систему у матричному вигляді:

$$\begin{pmatrix}2 & a \\ 8 & -12\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13 \\ 52\end{pmatrix}$$

Щоб система була лінійно залежною, вектор правої частини має бути лінійною комбінацією стовпців матриці коефіцієнтів. Тобто, існує таке число $k$, що:

$$\begin{pmatrix}13 \\ 52\end{pmatrix}=k\begin{pmatrix}2 \\ 8\end{pmatrix}+(-k)\begin{pmatrix}a \\ -12\end{pmatrix}$$

Звідси отримуємо два рівняння:

$$2k+ak=13$$
$$8k-12(-k)=52$$

Спростивши, маємо:

$$(a+2)k=13$$
$$20k=52$$

Якщо $a=-2$, то перше рівняння стає тотожнім, тобто система лінійно залежна і має безліч розв'язків. Якщо $a\neq -2$, то система лінійно незалежна і має єдиний розв'язок.

Отже, система має безліч розв'язків при $a=-2$.