Question

В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ AC является биссектрисой угла А, равного 45°. Найдите длину диагонали BD, если меньше основания трапеции равно 3√2

Answer 1

Ответ:

Диагональ BD равна 3√3 ед.

Объяснение:

В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ AC является биссектрисой угла А, равного 45°. Найдите длину диагонали BD, если меньше основания трапеции равно 3√2.

Дано: ABCD - трапеция, AD||BC, CD⟂AD, ВС=3√2, ∠A=45°, AC - биссектриса угла А.

Найти: BD.

Решение

1.

∠BCA=∠CAD - как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей AC.

∠BAС=∠CAD - так как АС - биссектриса ∠А

Следовательно ∠BCA=∠BAC. Значит △АВС - равнобедренный, с основанием АС.

АВ=ВС=3√3 - как боковые стороны равнобедренного треугольника.

2.

Проведём высоту ВЕ. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВЕ(∠АЕВ=90°).

По теореме о сумме углов прямоугольного треугольника найдём угол АВЕ.

∠АВЕ=90°-∠А=90°-45°=45°.

△АВЕ - равнобедренный с основанием АВ.

ВЕ=АЕ=h.

Тогда по теореме Пифагора найдём гипотезу АВ:

АВ²=АЕ²+ВЕ²

(3√2)²=h²+h²

2h²=9•2

h²=9

h=3 (h>0)

Таким образом высота ВЕ=3.

3.

Поскольку BCDE - прямоугольник, то CD=BE=3 (как противоположные стороны прямоугольника).

4.

Из прямоугольного треугольника BCD(∠C=90°) по теореме Пифагора найдём гипотезу BD:

BD²=BC²+CD²

BD²=(3√2)²+3²=3²•2+3=3²•3

BD=3√3

Ответ: 3√3 ед

#SPJ1