Question

докажи для любого целого числа n ,число 5/6*n+3/2*n^2+2/3*n^3 целое.

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

В начале заметим, что исходное выражение переписывается так, как показано ниже:

$\dfrac{5}{6}n+\dfrac{3}{2}n^2+\dfrac{2}{3}n^3=\dfrac{n}{6}(4n^2+9n+5)=\dfrac{n(n+1)(4n+5)}{6}$

Понятно, что $n(n+1)$ делится нацело на $2$ при любых целых $n$ (пусть $n$ четное, тогда утверждение верно; пусть $n$ нечетное, тогда $(n+1)$ четное и утверждение о делимости на $2$ снова верно).

Тогда осталось показать, что $n(n+1)(4n+5)$ делится нацело на $3$.

$n\;\vdots\;3\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\forall n=.\,.\,.-6,\,-3,\,\,\,\,\;0,\,3,\,6,\,9\dots\\(n+1)\;\vdots\;3\;\;\;\;\;\forall n=.\,.\,.-7,\,-4,\,-1,\,2,\,5,\,8\dots\;\;\;\;\;\;(*)\\(4n+5)\;\vdots\;3\;\;\;\,\forall n=.\,.\,.-8,\,-5,\,-2,\,1,\,4,\,7\dots$

Факт того, что первая и вторая строчки делятся на $3$ при указанных $n$ очевиден.

Покажем, что при $n=3k+1,\;\forall k\in\mathbb{Z}$ выражение $(4n+5)\;\vdots\;3$.

Действительно:

$\dfrac{4(3k+1)+5}{3}=\dfrac{12k+9}{3}=4k+3$

Из записанного в $(*)$ хорошо видно, что $n(n+1)(4n+5)\;\vdots\;3\;\;\;\forall n\in\mathbb{Z}$.

(удобно читать снизу вверх от $-8$ до $-6$, затем от $-5$ до $-3$ и так далее)

То есть было показано, что $n(n+1)(4n+5)\;\vdots\;6$ для любого целого $n$.

А значит и исходное выражение есть целое число $\forall n\in\mathbb{Z}$.

Задание выполнено!