Question

Основанием прямой призмы является прямоугольная трапеция, большая боковая сторона которой равна 10 см, а острый угол 30. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если известно, что в эту призму можно вписать шар. С подробным решением

Answer 1

Ответ:

Площадь боковой поверхности призмы равна 150 см².

Объяснение:

Основанием прямой призмы является прямоугольная трапеция, большая боковая сторона которой равна 10 см, а острый угол 30. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если известно, что в эту призму можно вписать шар.

Дано: прямая призма;

Сфера,О - вписана в призму;

А₁В₁С₁D₁ - основание призмы - прямоугольная трапеция;

АВ = 10 см; ∠ВАD = 30°

Найти: S бок. призмы.

Решение:

Площадь боковой поверхности призмы равна:

      S бок. = Р осн. · Н ,

где Р осн. - периметр основания, Н - высота призмы.

Через центр сферы О проведем плоскость перпендикулярную О₁О₂.

• Сечение призмы и вписанной в нее сферы плоскостью,
• перпендикулярной прямой O₁O₂ и проходящей через точку O,   будет трапеция, равная основаниям призмы, со вписанной в нее окружностью радиуса R.

⇒ Окр.О вписана в трапецию ABCD.

Проведем в трапеции ABCD высоту ВН.

Рассмотрим ΔАВН - прямоугольный.

∠ВАD = 30°

• Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

⇒ ВН = АВ : 2 = 10 : 2 = 5 (см)

Рассмотрим НВСD.

BH ⊥ AD; CD ⊥ AD

• Если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны между собой.

⇒ ВН || AD

BC || AD (условие)

⇒ HBCD - прямоугольник.

• Противоположные стороны прямоугольника равны.

⇒ ВН = CD = 5 см.

• Если в четырехугольник вписана окружность, то суммы противоположных сторон равны.

⇒ АВ + CD = BC + AD = 10 + 5 = 15 (см)

Тогда периметр трапеции равен:

Р осн. = АВ + CD + BC + AD = 15 + 15 = 30 (см)

Найдем высоту призмы.

• Если в прямую призму вписана сфера радиуса   R ,   то высота призмы равна   2R ,   а в основания призмы можно вписать окружности радиуса   R .

⇒ Н = 2R

• Если в трапецию вписана окружность, то диаметр окружности равен высоте трапеции.

⇒ d = 2R = H = BH = 5 см.

Р осн. = 30 см; Н = 5 см.

Можем найти площадь боковой поверхности призмы:

S бок. = 30 · 5 = 150 см²