Question

1\1*2+1\2*3+1\3*4.....1\9999*100 помогите пожайлуста

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

Перед решением отмечу, что заданный автором вопрос имеет смысл только, если его немного подправить так:

$\dfrac{1}{1\cdot2}+\dfrac{1}{2\cdot3}+\dfrac{1}{3\cdot4}+...+\dfrac{1}{9999*10000}=?$

Проделаем несколько действий вручную:

$k=1:\;\dfrac{1}{2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)\\k=2:\;\dfrac{1}{1\cdot2}+\dfrac{1}{2\cdot3}=\dfrac{2}{3}\;\;\;\;\,(2)\\k=3:\;\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3\cdot4}=\dfrac{3}{4}\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$

Заметим, что при каждом из рассмотренных нами $k$ ответ имеет вид:

$\dfrac{k}{k+1}$

Действительно:

При $k=1$ - это $\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}$ и есть в точности полученное в $(1)$.

При $k=2$ - это $\dfrac{2}{2+1}=\dfrac{2}{3}$ и есть в точности полученное в $(2)$.

При $k=3$ - это $\dfrac{3}{3+1}=\dfrac{3}{4}$ и есть в точности полученное в $(3)$.

Задаемся вопросом: не будет ли результат суммы при любом $k=n$ иметь вид $\dfrac{n}{n+1}$ (во всех случаях, которые мы только что посмотрели, это было так, следовательно, возможно, это закономерность и так будет всегда)

То есть мы предполагаем, что:

$\dfrac{1}{1\cdot2}+\dfrac{1}{2\cdot3}+\dfrac{1}{3\cdot4}+...+\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{n}{n+1}\;\;(*)$

Попробуем теперь доказать это равенство.

Здесь следует отметить, что на этом моменте следует оставить рассуждения, записанные до доказываемого ныне равенства. Они были нужны нам (и только нам), чтобы увидеть его. Полученное вполне можно было заметить, просто подумав.

Для доказательства применим метод математической индукции.

База индукции (в нашем случае - это $n=1$) доказывается очевидно:

$n=1:\;\dfrac{1}{1\cdot2}=\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{1+1}$

Докажем теперь переход,

Для этого предположим, что наше равенство выполняется при некотором $n=k$. Тогда нужно показать, что оно выполняется и для $n=k+1$.

Запишем сумму, которая у нас будет при $n=k+1:$

$\left(\dfrac{1}{1\cdot2}+\dfrac{1}{2\cdot3}+...+\dfrac{1}{k(k+1)}\right)+\dfrac{1}{(k+1)(k+2)}$

Теперь посмотрим на то, что у нас выделено в скобках.

Это не что иное, как сумма, которая получается при $n=k$.

Выше было оговорено, что мы действуем в предположении, что наша формула $(*)$ верна при $n=k$.

Тогда мы можем поменять то, что в скобках на $\dfrac{k}{k+1}$.

Это и сделаем:

$\dfrac{k}{k+1}+\dfrac{1}{(k+1)(k+2)}=\dfrac{1}{k+1}\left(k+\dfrac{1}{k+2}\right)=\dfrac{k^2+2k+1}{(k+1)(k+2)}=\\=\dfrac{(k+1)^2}{(k+1)(k+2)}=\dfrac{k+1}{k+2}=\dfrac{k+1}{\left(k+1\right)+1}$

Проделав несложные математические преобразования, мы получили, что наша формула действительно верна при $n=k+1$.

Значит можно сделать вывод, что она верна при всех натуральных значениях $n$.

Такой вывод следует из того, что выше мы доказали верность формулы при $n=1$. Но также выше мы доказали, что наша формула верна и при $n=1+1=2$ (здесь $k=1$ и использована доказанная нами формула перехода). Теперь наша формула верна при $n=2$. Но тогда она верна и при $n=2+1=3$ (теперь уже $k=2$ и вновь применяется формула перехода). Несложно увидеть, что такую последовательность рассуждений можно продолжать до бесконечности. Откуда и следует вывод о том, что формула верна для любого натурального $n$. В таких случаях говорят, что по принципу математической индукции доказываемое равенство верно для любого натурального $n$.

Дадим теперь ответ на задачу, применив доказанную формулу:

$\dfrac{1}{1\cdot2}+\dfrac{1}{2\cdot3}+\dfrac{1}{3\cdot4}+...+\dfrac{1}{9999*10000}=\dfrac{9999}{9999+1}=\dfrac{9999}{10000}=0.9999$

Задание выполнено!