Question

100 балів! Будь ласка, розгорнуте рішення!

Знайдіть кут А трикутника АВС ,якщо А(2;1;3),В(7;4;5),С(4;2;1)​

Answer 1

Ответ:

∠A ≈ 60.88°

Дано:

A(2;1;3),

B(7;4;5),

C(4;2;1).

-------------------------

Найти:

∠A - ?

--------------------------

Решение:

• В пространстве задан треугольник, координаты которого мы знаем. Для начала определим длины его сторон.
• Расстояние между произвольными координатами K и L (вектор KL) можно вычислить по формуле:

$KL=\sqrt{(K_x-L_x)^2+(K_y-L_y)^2+(K_z-L_z)^2}$

• Поочередно вычислим длины нашего треугольника AB, BC, AC:

$AB=\sqrt{(2-7)^2+(1-4)^2+(3-5)^2}=\sqrt{38}\\BC=\sqrt{(7-4)^2+(4-2)^2+(5-1)^2}=\sqrt{29}\\AC=\sqrt{(2-4)^2+(1-2)^2+(3-1)^2}= 3$

• Теперь вспомним из курса планиметрии кое-какую формулу, а именно теорему косинусов. Я прикрепил ее в качестве фото. Нам нужно выразить косинус из формулы, чтобы найти угол. Угол A лежит напротив стороны BC, значит наша формула приобретает вид:

$BC^2=AC^2+AB^2-2AC*AB*cos(A)\\cos(A)=\frac{AC^2+AB^2-BC^2}{2AC*AB} \\cos(A)=\frac{3^2+(\sqrt{38})^2-(\sqrt{29})^2 }{2*3*\sqrt{38} } =\frac{3\sqrt{38} }{38}$

∠A = arccos((3√38) / 38) ≈ 60.88°