2. У просторі дано вектори a(1,1,0) і B(0,1,1). Укажіть які з вказаних тверджень є вірними.
1) довжини векторів а і в рівні;
2) скалярний добуток векторiв а і в дорівнює2;
3) кут між векторами а і в дорівнює 120*; 4) (а+в)(а-в)=0
Завдання повинні бути з розв'язками
можна будь ласка поскоріше , хто зможе , допоможіть , буду дуже вдячна, залишаю вам 100 балів ❤️❤️❤️
Ответы
Для розв'язання цієї задачі використаємо формули для розрахунку довжин векторів, скалярного добутку та кута між векторами:
Довжина вектора: ||a|| = sqrt(a1^2 + a2^2 + a3^2)
Скалярний добуток: a * b = a1b1 + a2b2 + a3*b3
Кут між векторами: cos(theta) = (a * b) / (||a|| * ||b||)
1) Довжини векторів а і b:
||a|| = sqrt(1^2 + 1^2 + 0^2) = sqrt(2)
||b|| = sqrt(0^2 + 1^2 + 1^2) = sqrt(2)
Довжини векторів а і b різні, тому це твердження невірне.
2) Скалярний добуток векторів а і b:
a * b = 11 + 10 + 0*1 = 1
Скалярний добуток векторів а і b не дорівнює 2, тому це твердження невірне.
3) Кут між векторами а і b:
cos(theta) = (a * b) / (||a|| * ||b||) = 1 / (sqrt(2) * sqrt(2)) = 1/2
theta = arccos(1/2) = 60 градусів
Кут між векторами а і b дорівнює 60 градусів, тому це твердження вірне.
4) (a + b) (a - b) = (a^2 - b^2)
a + b = (1,1,0) + (0,1,1) = (1,2,1)
a - b = (1,1,0) - (0,1,1) = (1,0,-1)
(a + b) (a - b) = (1,2,1) (1,0,-1) = 11 + 20 + 1*(-1) = 0
(a^2 - b^2) = (1^2 + 1^2 + 0^2) - (0^2 + 1^2 + 1^2) = -1
(a + b) (a - b) не дорівнює (a^2 - b^2), тому це твердження невірне.
Отже, тільки твердження 3 є вірним.