Question

точки А(-4;y) і B(x;3) семетричні відносно точки К(5;-2). Знайти x і y.​

Answer 1

Відповідь:Оскільки точки А і В симетричні відносно точки К, то відрізок АК має таку ж довжину, як і відрізок KB. Тобто:

KB

Користуючись формулою відстані між двома точками на площині, маємо:

AK = sqrt((5 - (-4))^2 + (-2 - y)^2)

KB = sqrt((x - 5)^2 + (3 - (-2))^2)

Отже, маємо рівняння:

sqrt((5 - (-4))^2 + (-2 - y)^2) = sqrt((x - 5)^2 + (3 - (-2))^2)

Після спрощення:

sqrt(81 + (y + 2)^2) = sqrt((x - 5)^2 + 25)

Піднесемо обидві частини до квадрату:

81 + (y + 2)^2 = (x - 5)^2 + 25

Розкриваємо дужки і спрощуємо:

y^2 + 4y + 80 = x^2 - 10x + 1

Перенесемо все на один бік:

x^2 - 10x - y^2 - 4y + 79 = 0

Ми отримали рівняння кола з центром в точці (5, -2) і радіусом √79.

Оскільки точка А є симетрична до точки В відносно точки К, то координата x точки А дорівнює 10 - координата x точки В. Тобто:

x = 10 - x

Розв'язуємо це рівняння відносно x:

2x = 10

x = 5

Підставляємо x = 5 в рівняння кола, щоб знайти y:

5^2 - 10(5) - y^2 - 4y + 79 = 0

y^2 + 4y - 56 = 0

(y + 8)(y - 4) = 0

Отже, y = -8 або y = 4.

Так як точка А має координату y, то розв'язком буде пара значень (5, -8).