Question

Докажите это неравенство √(x^2/y) + √(y^2 / x) > √x + √y (без нейросети, она решает неправильно)

Answer 1

Ответ:

Доказано требуемое (в исправленной формулировке).

Пошаговое объяснение:

1) Поскольку в правой части есть $\sqrt{x},\ \sqrt{y}\Rightarrow x\ge 0;\ y\ge 0.$

Поскольку в знаменателях в левой части стоят x и y ⇒ x≠0; y≠0.

Вывод: x>0; y>0.

2) Ясно, что в том виде, в котором написано неравенство, доказать его невозможно, так как при x=y неравенство превращается в равенство. Поэтому запишем правильную формулировку задания:

Докажите неравенство      $\sqrt{\dfrac{x^2}{y}}+\sqrt{\dfrac{y^2}{x}}\ge \sqrt{x}+\sqrt{y}.$

Переходим к доказательству неравенства. Поскольку числители и знаменатели дробей в левой части положительны, неравенство равносильно неравенству

                  $\dfrac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{y}}+\dfrac{\sqrt{y^2}}{\sqrt{x}}\ge \sqrt{x}+\sqrt{y}\Leftrightarrow \dfrac{|x|}{\sqrt{y}}+\dfrac{|y|}{\sqrt{x}}\ge \sqrt{x}+\sqrt{y}.$

Поскольку x>0, y>0⇒ |x|=x, |y|=y, поэтому неравенство можно записать в виде  

                                       $\dfrac{x}{\sqrt{y}}+\dfrac{y}{\sqrt{x}}\ge \sqrt{x}+\sqrt{y},$

а если обозначить $\sqrt{x}=a > 0;\ \sqrt{y}=b > 0,$ оно запишется так:

                                              $\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{a} \ge a+b.$

Домножив неравенство на ab>0, получим равносильное неравенство

$a^3+b^3\ge a^2b+ab^2\Leftrightarrow (a^3-a^2b)+(b^3-ab^2)\ge 0\Leftrightarrow a^2(a-b)-b^2(a-b)\ge0\Leftrightarrow$  

    $\Leftrightarrow (a^2-b^2)(a-b)\ge 0\Leftrightarrow (a-b)(a+b)(a-b)\ge 0\Leftrightarrow (a-b)^2(a+b)\ge 0.$  

Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, а слагаемые во второй скобке больше нуля, полученное неравенство очевидно, а поскольку оно равносильно исходному неравенству, исходное неравенство (в исправленной формулировке)  доказано. Кстати, очевидно, что оно превращается в равенство тогда и только тогда, когда a=b, то есть x=y.

Answer 2

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

Рассмотрим неравенство вида:

$\dfrac{1}{t}+t^2 \ge 1+t\;\;(*)$

Оно переписывается как:

$\dfrac{(t-1)^2(t+1)}{t} \ge 0$

И выполняется для любого $t > 0$.

Пусть $t=\sqrt{\dfrac{y}{x}}$. Тогда при любых $x,y > 0$ имеем некоторое $t > 0$ для которого неравенство $(*)$ выполняется.

Подставляем это $t$ в $(*):$

$\sqrt{\dfrac{x}{y}}+\dfrac{y}{x} \ge 1+\sqrt{\dfrac{y}{x}}\\\sqrt{\dfrac{x}{y}}+\sqrt{\dfrac{y^2}{x^2}} \ge 1+\sqrt{\dfrac{y}{x}}\;\;(**)$

Умножим теперь $(**)$ на $\sqrt{x}:$

$\sqrt{\dfrac{x^2}{y}}+\sqrt{\dfrac{y^2}{x}} \ge \sqrt{x}+\sqrt{y}$

Отметим, что знак неравенства сохранен, так как $\sqrt{x}$ положителен ($x>0$).

Доказано!