Question

Есть десять шариков трёх цветов. Известно, что существует ровно 360 способов поставить их в ряд. Сколько шариков каждого цвета может быть?

Answer 1

Ответ:  7 , 2 , 1

Объяснение:

Пусть  у нас  имеются   шарики  красных , синих  и зеленых  цветов

a - это количество красных шариков

b -  это количество синих шариков

с - это количество зеленых шариков

a + b + c = 10

Поскольку количество  шаров  больше числа видов этих , то при подсчете этих способов мы будем использовать формулу перестановок с повторениями

$\boldsymbol{ \widetilde{ P_n} (n_1 ~, ~ n_2 \ldots n_k) = \dfrac{n!}{n_1! \cdot n_2!\ldots \cdot n_k!}}$

6! = 720

В нашем случае :

$\displaystyle \left \{ \begin{array}{l} a,b,c > 0\\ a,b,c < 10 \\ a,b,c \in \mathbb N \end{array} \right.$

$P_{10}(a,b,c) = \dfrac{10!}{a! \cdot b! \cdot c!} = 360 \\\\ a! \cdot b! \cdot c!\cdot 360 = 6! \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \\\\ a! \cdot b! \cdot c!\cdot \underline{360} = \underline{720} \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \\\\ a! \cdot b! \cdot c! = 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \\\\ a! \cdot b! \cdot c! = 2 \cdot 7 \cdot 2^3 \cdot 3^2 \cdot 2\cdot 5 \\\\ a! \cdot b! \cdot c! = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 5\cdot \bold7$

Наибольший простой делитель числа 10!/360  равен 7 ⇒   a = 7
( или b = 7 , с = 7  ,  на ответ это не влияет  )

7! = 6!·7 = 720·7 = 2·360·7 = 2· 6²·10·7 = 2·2²·3²·2·5·7 = 2⁴·3²·5·7

7!·b!·c! = 2⁵·3²·5·7

2⁴·3²·5·7·b!·c! = 2⁵·3²·5·7

b!·c! = 2

Очевидно , что такое возможно только когда  b = 2 ,  с = 1

#SPJ1