Дано, що 90°≤α≤180° , sec α= 1+a. Обчислити tgα. Яким повинно бути число а?
Ответы
Ми знаємо, що `sec α = 1/cos α`. Замінюючи sec α на `1+a`, ми можемо записати рівняння: `1+a = 1/cos α`. Оскільки `cos α` є функцією зі сталим знаком на інтервалі `90°≤α≤180°` та не приймає значення 0, ми можемо зробити висновок, що `cos α > 0` на цьому інтервалі, і ми можемо розділити обидві частини на `cos α`, отримуючи:1/cos α = 1 + a
Тепер ми можемо використовувати визначення тангенса для знаходження `tan α`:
tan α = sin α / cos α
Знаходимо значення синуса:
sin α = √(1 - cos² α) = √(1 - (1/(1 + a))²) = √(1 - 1/(1 + 2a + a²))
Тепер можемо записати тангенс:
tan α = sin α / cos α = √(1 - 1/(1 + 2a + a²)) / (1/(1 + a))
Щоб визначити, яким повинно бути `a`, щоб цей тангенс мав зміст і перебував на інтервалі `90°≤α≤180°`, потрібно врахувати, що на цьому інтервалі тангенс від'ємний. Таким чином, потрібно вирішити наступну нерівність:
√(1 - 1/(1 + 2a + a²)) / (1/(1 + a)) < 0
Загальний знаменник в правій частині нерівності позитивний, тому ми можемо помножити обидві частини на нього, міняючи знак при переносі:
√(1 - 1/(1 + 2a + a²)) * (1 + a) > 0
Оскільки вилучення квадратного кореня можливо тільки для не від’ємних значень, потрібно пересвідчитися, що підкореневий вираз не перевищує 1:
1 - 1/(1 + 2a + a²) ≤ 1
Звідси випливає, що
1 + 2a + a² ≥ 1
a² + 2a ≥ 0
a(a + 2) ≥ 0
Таким чином, умова, яку повинно задовольняти `a`, щоб тангенс на інтервалі `90°≤α≤180°` мав плавний характер і задовольняв завданню, це `a ≤ -2` або `a ≥ 0`.